فیزیک نظری مشکلات و راه حل ها

روش استقرایی و دیفرانسیلی:

جهان بینی علمی در فیزیک نظری با کارهای گالیله آغاز شد. هرچند که تلاشهای گالیله زیربنای فیزیک را تشکیل داد، اما این تلاشها ریشه در نگرشهای جدید به پدیده های فیزیکی داشت که مهمترین آنها را می توان در آثار برونو و کپلر مشاهده کرد. برونو به طرز ماهرانه ای در آثار خود تشریح کرد که همه ی ستارگان جهان نظیر خورشید هستند. کپلر با ارائه سه قانون خود نشان داد که حرکت سیارات قانونمند است و یک نظم منطقی در حرکت، دوره تناوب و مسیر آنها وجود دارد.

گالیله آزمایشهای زیادی انجام داد تا بتواند حرکت اجسام را در یکسری قوانین کلی خلاصه کند. در این میان آزمایش سطح شیبدار گالیله از همه مشهورتر است. اما نمی توان تاثیر نگرش گالیله را در پیشرفت علم به این آزمایشها خلاصه کرد. در حقیقت گالیله نوعی نگرش منطقی به پدیده های فیزیکی داشت که تا آن زمان بی سابقه بود. این نگرش زیربنای روش استقرایی را در فیزیک تشکیل داد و بتدریج به سایر علوم گسترش یافت.

هرچند آزمایشهای گالیله از نظر کمی و کیفی با آزمایشهای امروزی قابل مقایسه نیست، اما آزمایشهای بسیار پیچیده و پیشرفته امروزی نیز از همان قاعده ی نگرش استقرایی گالیله پیروی می کنند. به این ترتیب گالیله زیر ساخت فیزیک را ایجاد کرد و نحوه ی برخورد علمی با طبیعت را نشان داد. اما نتیجه ی این تلاشها به صورت تشریحی بیان می شد.

سالها بعد نیوتن نتایج به دست آمده توسط گالیله را فرمول بندی و در قالب یکسری معادلات ریاضی ارائه کرد و ساختار فیزیک کلاسیک را مدون ساخت. قانون جهانی گرانش نیوتن دست آورد بزرگی بود. نیوتن برای توجیه پدیده های فیزیکی " نگرش دیفرانسیلی" را جایگزین روش انتگرالی کرد. در روش انتگرالی همواره نتایج مورد نظر است. در حالیکه در نگرش دیفرانسیلی تحلیل روند رسیدن به نتایج مورد بحث قرار می گیرد و جواب های خاص را می توان از ان به دست اورد. به عنوان مثال قوانین کپلر را با قانون جهانی گرانش نیوتن مقایسه کنید. در قوانین کپلر نمی توان دوره ی گردش یک سیاره را از روی دوره ی گردش سیاره ی دیگر استخراج کرد. علاوه بر آن هر سه قانون کپلر مستقل از هم هستند. در حالیکه در قانون نیوتن می توان دوره گردش همه ی سیارات به دور خورشید را به دست آورد.

بنابراین می توان گفت گالیله روش استقرایی را به وجود آورد و نیوتن روش دیفرانسیلی را ابداع کرد. لذا تاثیر تلاشهای گالیله و نیوتن در پیشرفت علوم ممتاز و غیر قابل انکار و در عین حال بی نظیر است.

مشکلات قوانین نیوتن

هنگامیکه نیوتن قوانین حرکت و قانون جهانی جاذبه را ارائه کرد، این قوانین از نظر منطقی با اشکالات جدی همراه بود. قانون دوم نیوتن تا سرعتهای نامتناهی را پیشگویی می کرد که با تجربه سازگار نیست. قانون دوم به صورت F=ma ارائه شده است که طبق آن نیروی وارد شده به جسم می تواند تا بی نهایت سرعت آن افزایش دهد. این امر با مشاهدات تجربی قابل تطبیق نیست. مشکل بعدی کنش از راه دور بود. یعنی اثر نیروی جاذبه با سرعت نامتناهی منتقل می شد. تاثیر از راه دور همواره مورد انتقاد قرار قرار داشت.

اما مهمترین مشکل قوانین نیوتن در قانون جهانی جاذبه وی بود و خود نیوتن نیز متوجه آن شده بود.

نیوتن دریافت که بر اثر قانون جاذبه او، ستارکان باید یکدیگر را جذب کنند و بنابراین اصلاً به نظر نمی رسد که ساکن باشند. نیوتن در سال 1692 طی نامه ای به ریچارد بنتلی نوشت "که اکر تعداد ستارگان جهان بینهایت نباشد، و این ستارگان در ناحیه ای از فضا پراکنده باشند، همگی به یکدیگر برخورد خواهند کرد. اما اکر تعداد نامحدودی ستاره در فضای بیکران به طور کمابش یکسان پراکنده باشند، نقطه مرکزی در کار نخواهد بود تا همه بسوی آن کشیده شوند و بنابراین جهان در هم نخواهد ریخت."

این برداشت نیز با یک اشکال اساسی مواجه شد. بنظر سیلیجر طبق نظریه نیوتن تعداد خطوط نیرو که از بینهایت آمده و به یک جسم می رسد با جرم آن جسم متناسب است. حال اکر جهان نامتناهی باشد و همه ی اجسام با جسم مزبور در کنش متقابل باشند، شدت جاذبه وارد بر آن بینهایت خواهد شد.

مشکل بعدی قانون جاذبه نیوتن این است که طبق این قانون یک جسم به طور نامحدود می تواند سایر اجسام را جذب کرده و رشد کند، یعنی جرم یک جسم می تواند تا بینهایت افزایش یابد. این نیز با تجربه تطبیق نمی کند، زیرا وجود جسمی با جرم بینهایت مشاهده نشده است.

مشکل بعدی قوانین نیوتن در مورد دستکاه مرجع مطلق بود. همچنان که می دانیم حرکت یک جسم نسبی است، وقتی سخن از جسم در حال حرکت است، نخست باید دید نسبت به چه جسمی یا در واقع در کدام چارچوب در حرکت است. دستگاه های مقایسه ای در فیزیک دارای اهمیت بسیاری هستند. قوانین نیوتن نسبت به دستگاه مطلق مطرح شده بود. یعنی در جهان یک چارچوب مرجع مطلق وجود داشت که حرکت همه اجسام نسبت به آن قابل سنجش بود. در واقع همه ی اجسام در این چارچوب مطلق که آن را "اتر" می نامیدند در حرکت بودند. یعنی ناظر می توانست از حرکت نسبی دو جسم سخن صحبت کند یا می توانست حرکت مطلق آن را مورد توجه قرار دهد.

براین اساس مایکلسون تصمیم داشت سرعت زمین را نسبت به دستگاه مطلق "اتر" به دست آورد. مایکلسون یک دستگاه تداخل سنج اختراع کرد و در سال 1880 تلاش کرد طی یک آزمایش سرعت مطلق زمین را نسبت به دستگاه مطلق "اتر" به دست آورد. نتیجه آزمایش منفی بود. (برای بحث کامل در این مورد به کتابهای فیزیک بنیادی مراجعه کنید.) با آنکه آزمایش بارها و بارها تکرار شد، اما نتیجه منفی بود. هرچند مایکلسون از این آزمایش نتیجه ی مورد نظرش به دست نیاورد، اما به خاطر اختراع دستگاه تداخل سنج خود، بعدها برنده جایزه نوبل شد.

نسبیت خاص

برای توجیه علت شکست آزمایش مایکلسون نظریه های بسیاری ارائه شد تا سرانجام اینشتین در سال 1905 نسبیت خاص را مطرح کرد. نسبیت خاص شامل دو اصل زیر است:

1 - قوانین فیزیک در تمام دستگاه های لخت یکسان است و هیچ دستگاه مرجع مطلقی در جهان وجود ندارد.

2 - سرعت نور در فضای تهی و در تمام دستگاه های لخت ثابت است.

در نسبیت سرعت نور، حد سرعت ها است، یعنی هیچ جسمی نمی تواند با سرعت نور حرکت کند یا به آن برسد.

نتیجه این بود که قانون دوم نیوتن باید تصحیح می شد. طبق نسبیت جرم جسم تابع سرعت آن است، یعنی با افزایش سرعت، جرم نیز افزایش می یابد وهر جسمی که بخواهد با سرعت نور حرکت کند باید دارای جرم بینهایت باشد. لذا قانون دوم نیوتن بصورت زیر تصیح شد.

F=dp/dt=d(mv)/dt=vdm/dt+mdv/dt

m=m0/(1-v^2/c^2)^1/2

بنابر این جرم تابع سرعت است و با افزایش سرعت، جرم نیز افزایش می یابد. هنگامیکه سرعت جسم به سمت سرعت نور میل کند، جرم به سمت بینهایت میل خواهد کرد و عملاً هیچ نیرویی نمی تواند به آن شتاب دهد.

از طرف دیگر طبق نسبیت جرم و انرژی هم ارز هستند، یعنی جرم جسم را می توان بصورت محتوای انرژی آن مورد ارزیابی قرار داد. بنابراین انرژی دارای جرم است. اما در نسبیت نور از کوانتومهای انرژی تشکیل می شود که آن را فوتون می نامند و با سرعت نور حرکت می کند. این سئوال مطرح شد که اکر انرژی دارای جرم است و فوتون نیز حامل انرژی است که با سرعت نور حرکت می کند، پس چرا جرم آن بینهایت نیست؟

پاسخ نسبیت به این سئوال این بود که جرم حالت سکون فوتون صفر است. در حالیکه رابطه ی جرم نسبیتی در مورد جرم حالت سکون غیر صفر بر قرار است. لذا در نسبیت با دو نوع ذرات سروکار داریم، ذراتی که دارای جرم حالت سکون غیر صفر هستند نظیر الکترون وذراتی که دارای جرم حالت سکون صفر هستند مانند فوتون. در نسبیت تنها ذراتی می توانند با سرعت نور حرکت کنند که جرم حالت سکون آنها صفر باشد.

مشکل نسبیت خاص در این است که جرم نسبیتی آن (جرم بینهایت) مانند سرعت بینهایت در مکانیک کلاسیک با تجربه تطبیق نمی کند. یعنی هیچ نمونه ی تجربی که با جرم بینهایت نسبیت تطبیق کند وجود ندارد.

علاوه بر آن در نسبیت و حتی در مکانیک کوانتوم توضیحی وجود ندارد که نحوه ی تولید فوتون را با سرعت نور توضیح بدهد. و چرا فوتون در حالت سکون یافت نمی شود. آیا فوتون از ذرات دیگری تشکیل شده است؟ اگر جواب منفی است این سئوال مطرح می شود که فوتون های مختلف با یک دیگر چه اختلافی دارند؟ در حالیکه همه ی فوتون ها با انرژی متفاوت با سرعت نور حرکت می کنند. آزمایش نشان داده است که فوتون در برخورد با سایر ذرات قسمتی از انرژی خود را از دست می دهد. حال این سئوال مطرح می شود که فرض کنیم فوتون شامل ذرات دیگری نیست، این را باید توضیح داد وقتی قسمتی از آن جدا می شود و باز هم دارای همان خواص اولیه است ولی با انرژی کمتر؟ یعنی فوتون قابل تقسیم است، هر ذره ی قابل تقسیمی باید شامل زیر ذره باشد.

واقعیت این است که فوتون در شرایط نور تولید می شود و اجزای تشکیل دهنده آن نیز بایستی با همان سرعت نور حرکت کنند و حالت سکون فوتون یعنی تجزیه ی آن به اجزای تشکیل دهنده اش.

از طرفی می دانیم جرم و انرژی هم ارز هستند، آیا این منطقی است که می توان سرعت جرم را تغییر داد اما سرعت انرژی ثابت است؟

نسبیت عام:

نسبیت خاص دارای یک محدودیت اساسی بود. این محدودیت ناشی از آن بود که رویدادهای فیزیکی را در دستگاه های لخت مورد بررسی قرار می داد، در حالیکه در جهان واقعی دستگاه ها شتاب دار هستند. هرچند می توان در بر رسی برخی رویداد ها به دستگاه های لخت بسنده کرد، اما این دستگاه ها برای بررسی تمام رویدادها ناتوان هستند.

اینشتین در سال 1915 نسبیت عام را ارائه کرد و نسبیت خاص به عنوان حالت خاصی از نسبیت عام در آمد.

نسبیت عام بر اساس اصل هم ارزی تدوین شد.

اصل هم ارزی:

قوانین فیزیک در یک میدان جاذبه یکنواخت و در یک دستگاه که با شتاب ثابت حرکت می کند، یکسان هستند.

به عنوان: فرض کنیم یک دستگاه مقایسه ای با شتاب ثابت در حرکت است. مشاهدات در این دستگاه نظیر مشاهدات در یک میدان گرانشی یکنواخت است در صورتی که شدت میدان گرانشی برابر شتاب دستگاه باشد، یعنی:

a=g

باشد، در این صورت مشاهدات یکسان خواهد بود.

مهمترین دستاورد نسبیت عام توجیه مدار عطارد بود. بررسی های نجومی نشان داده بود که نقطه حضیض عطارد جابه جا می شود. بیش ار یکصد سال بود که فیزیکدانان متوجه ان شده بودند، اما نمی توانستند با قوانین نیوتن توجیه کنند. اما نسبیت عام توانست أن را توجیه کند. بنا بر نسبیت، گرانش اثر هندسی جرم بر فضای اطراف خود است. که فضا-زمان نامیده می شود. یعنی جرم فضای اطراف خود را خمیده می کند و مسیر نور در اطراف آن خط مستقیم نیست، بلکه منحنی است. در سال 1919 انحنای فضا را اهنگام کسوب کامل خورشید با نوری که از طرف ستاره ی مورد نظری به سوی زمین در حرکت بود و از کنار خورشید می گذشت مورد تحقیق قرار دادند که با پیشگویی نسبیت تطبیق می کرد. این موفقیت بسیار بزرگی برای نسبیت بود. از آن زمان به بعد توجه به ساختار هندسی و خواص توپولوژیک فضا بررسی واقعیت های فیز یکی را به حاشیه راند.

مضافاً این که گرانش را از فهرست نیروهای اساسی طبیعت در فیزیک نظری حذف کرد. مشکلات اساسی نسبیت را می توان به صورت زیر فهرست کرد: 1- مشکل نسبیت با مکانیک کوانتوم- مکانیک کوانتوم ساختار ریز و کوانتومی کمیت ها و واکنش متقابل آنها را مورد بررسی قرار می دهد. به عبارت دیگر نگرش مکانیک کوانتوم بر مبنای کوانتومی شکل گرفته است. در این زمینه تا جایی پیش رفته که حتی اندازه حرکت و برخی دیگر از کمیتها را کوانتومی معرفی می کند. این نتایج بر مبنای یکسری شواهد تجربی مطرح شده و قابل پذیرش است. علاوه بر آن تلاشهای زیادی انجام می شود پدیده های بزرگ جهان را با قوانین شناخته شده در مکانیک کوانتوم توجیه کنند. حال به نسبیت توجه کنید که فضا-زمان را پیوسته در نظر می گیرد. بنابراین نسبیت با مکانیک کوانتوم ناسازگار است.

تلاشهای زیادی انجام شده تا به طریقی یک همانگی منطقی و قابل قبول بین نسبیت و مکانیک کوانتوم ایحاد شود. در این مورد کارهای دیراک شایان توجه است که مکانیک کوانتوم نسبیتی را پایه گذاری کرد و آن را توسعه داد. اما در مورد نسبیت عام موفقیت چندانی نصیب فیزیکدانان نشده است. 2- پیچیدگی و عدم وجود تفاهم در نسبیت- پیچیدگی نسبیت موجب شده که تفاهم منطقی بین فیزیکدانان در مورد نتایج و پیشگویی های نسبیت وجود نداشته باشد. به عبارت دیگر نسبیت شدیداً قابل تفسیر است. این تفاسیرگاهی چنان متناقض هستند که حتی فیزیکدان بزرگی نظیر استفان هاوکینگ نظر خود را تغییر داد. البته این براداشتهای متفاوت از نسبیت ناشی از گذشت زمان نیست، بلکه از آغاز حتی برای خود اینشتین که نسبیت را مطرح کرد وجود داشت. به عنوان مثال: اینشتین از سال 1917 شروع به تدوین یک نظریه قابل تعمیم به عالم یرد.

وی با مشکلات حل نشدنی ریاضی برخورد کرد. به همین دلیل در معادلات گرانش عبارت مشهور " پارامتر عالم " را وارد کرد. ملاحظات وی در این موضوع بر دو فرضیه مبتنی بود. 1- ماده دارای چگالی متوسطی در فضاست که در همه جا ثابت و مخالف صفر است. 2- بزرگی " شعاع " فضا به زمان بستگی ندارد. در سال 1922 فریدمان نشان داد که اگر از فرضیه دوم چشم پوشی شود، می توان فرضیه اول را حفظ کرد بی آنکه در معادلات به پارامتر عالم نیازی باشد. فریدمان بر این اساس یک معادله ی دیفرانسیل به صورت زیر ارائه کرد: (dR/dt)^2 - C/R+K=0 در واقع سالها قبل از کشف هابل در مورد انبساط فضا، فریدمان دقیقاً کشفیات او را پیش بینی کرده بود. معادله ی فریدمان معادله ی اصلی کیهان شناخت نیوتنی است و بدون تغییر در نظریه نسبیت عام نیز صادق است.

اینشتین بر همه نتایج به دست آمده توسط فریدمان اعتراض کرد و مقاله ای نیز در این باب انتشار داد. سپس حقایق را در فرضیه فریدمان دید و با شجاعت کم نظیری طی نامه ای که برای سردبیر مجله آلمانی فرستاد به اشتباه خود در محاسباتش اعتراف کرد. بیشتر مشیلات نسبیت ناشی از خواصی است که به علت وجود ماده برای فضا قایل می شوند. که در آن هندسه جای فیزیک را می گیرد. زمانی پوانکاره گفته بود که اگر مشاهدات ما نشان دهد که فضا نااقلبدسی است، فیزیکدانان می توانند فضای اقلیدسی را قبول کرده و نیروهای جدیدی وارد نظریه های خود کنند. اما نسبیت چنین نکرد و ماهیت پدیده های فیزیکی را به دست فراموشی سپرد. هرچند پدیده های فیزیکی را بدون ابزار محاسباتی، اعم از جبری و هندسی نمی توان توجیه کرد، اما فیزیک نه هندسه است و نه جبر، فیزیک، فیزیک است وبس!!! 3- مشکل گرانش نیوتنی در نسبیت همچنان باقی است- در نسبیت فضا-زمان دارای انحناست. هرچه ماده بیشتر و چگالتر باشد، انحنای فضا بیشتر است.

سئوال این است که این انحنای فضا تا کجا می انجامد؟ در نسبیت انحنای فضا می تواند چنان تابیده شود که حجم به صفر برسد. برای آنکه ماده بتواند چنان بر فضا اثر بگذارد که حجم به صفر برسد، باید جرم به سمت بی نهایت میل کند. یعنی نسبیت نتوانست مشکل قانون گرانش را در مورد تراکم ماده در فضا حل کند، علاوه بر آن بر مشکل افزود. زیرا قانون نیوتن می پذیرد که ماده تا بی نهایت می تواند متمرکز شود، اما حجم صفر با آن سازگار نیست. اما نسبیت علاوه بر آن که می پذیرد ماده می تواند تا بی نهایت متراکم شود، پیشگویی می کند که حجم آن نیز به صفر می رسد.

چه باید کرد؟

1 - مشاهدات تجربی نشان می دهد که قانون جهانی گرانش نیوتن (یا حجم صفر نسبیت) باید مجدداً مورد بررسی قرار گیرد.

2 - قانون دوم نیوتن نیاز به برسی مجدد دارد، اما نه به گونه که افزایش جرم (انرژی) را تا بی نهایت بپذیرد. جرم-انرژی بینهایت در نسبیت مانند سرعت بی نهایت در م کانیک نیوتنی غیر واقعی و با مشاهدات تجربی ناسازگار است.

3 - ساختار هندسی فضا تابع چگالی ماده است که از نیروی گرانش آن ایجاد می شود. به عبارت دیگر این نیروی گرانش است که ساختار هندسی فضا را شکل می دهد، نه شکل هندسی فضا موجب ایجاد پدیده ای می شود که ما آن را گرانش می نامیم. در واقع گرانش نه تنها یک نیروی اساسی است، بلکه منشاء تولید انرژی است.

4 - در ساختار کلان حهان همان قانونی حاکم است که در کوچکترین واحدهای کمیت های طبیعت حاکم است. یعنی قوانین جهان میکروسکپی را می توان به جهان ماکروسپی تعمیم داد.

نتیجه: مکانیک کلاسیک، مکانیک کوانتوم و نسبیت را باید همزمان مورد بررسی مجدد قرار داد و این کاری است که:

Theory of CPH آن را انجام داده است.

منبع:  www.hupaa.com

آیا ریاضیات علمی منطقی است؟

منطق ریاضى، ترجمه mathematical logic است. از منطق ریاضى دو معنا مستفاد مى شود.۱- منطق ریاضى به معناى خاص که در واقع باید ترجمه The logic of mathematic باشد چرا که ریاضیات مانند هر علم دیگرى از نظمهایى برخوردار است که این نظمها تحت عنوان منطق مى آید و منطق ریاضى به معناى خاص بررسى ریاضى این نظمها یا قواعد است.
۲- معناى عامى هم براى منطق ریاضى متصور است که عبارت است از: استفاده از روشها و تکنیکهاى ریاضى براى بررسى منطق. به این معنا که منطق ریاضى یک علم کاربردى است و در مقوله ریاضیات کاربردى قرار مى گیرد. بین دو معناى عام و خاصى که مطرح شد یک رابطه واقعى عام و خاص نیز وجود دارد.
کتاب «منطق ریاضى» ، کتابى به معناى خاص منطق ریاضى است. یعنى بررسى منطق متعلق به ریاضیات نه منطق به معناى عام. در واقع باید گفت که معناى آن اخص است. یعنى کتابى است براى بررسى ریاضیات کلاسیک. شاید این سؤال پیش آید که ریاضیات کلاسیک چیست؟ و مگر ریاضیات غیر کلاسیک نیز وجود دارد.

آیا ریاضیات علمی منطقی است؟

جواب این است که با توجه به نوع نگرش فلسفى که نسبت به اشیاء ریاضى و عالم ریاضى داریم ریاضیات غیر کلاسیک هم وجود دارد. به تسامح مى توان گفت که در ریاضیات کلاسیک شیوه هایى از استدلال و برهان وجود دارد که در ریاضیات غیرکلاسیک مجاز نیست.

 به ویژه برهان خلف به عنوان یک برهان که در ریاضیات کلاسیک به کار مى رود در ریاضیات غیر کلاسیک بر قرار نیست و قاعدتاً منطقى را مى طلبد که با منطق ریاضیات کلاسیک متفاوت است. در این منطق، ریاضیات ساختى اصل طرد شق ثالث یک اصل معتبر ریاضى نیست.
 بنابراین منطق ریاضیات ساختى و به عبارت معروفتر منطق شهود گرایانه اصول و قواعد کمترى از منطق کلاسیک را دارد.
کتاب «منطق ریاضى» بسیار خاص است. یعنى عبارت است از: بررسى منطق ریاضیات کلاسیک. اما بین این معناى خاص و عام منطق ریاضى رابطه واقعى وجود دارد. به این معنا که حتى در معناى خاص منطق ریاضى ویژگى عام معنایى هم در این مورد وجود دارد. یعنى این که ما از تکنیکها و روشهاى ریاضیات در بررسى تحقیق درباره ریاضیات سود مى بریم.

پس منطق ریاضى به دو وجه ریاضى است. نخست اینکه موضوع آن موضوع منطق ریاضى است، دوم اینکه روش آن ریاضى است. یعنى اینکه در عالم ریاضیات با استفاده از اصول و قواعد ریاضى، ما به موضوع منطق ریاضى مى پردازیم. پس منطق ریاضى به معناى عام براى موضوع ریاضیات به دو وجه ریاضى است و این نکته اى نسبتاً مهم است.

ریاضى بودن، روش تألیف دقیق دارد . اگر بخواهیم خیلى دقیق باشیم - و من اصرار به دقیق بودن آن دارم - این است که وقتى مى گوییم روش ریاضى است یعنى در عالم نظریه، مجموعه اصول و قواعدى ما را مجاز مى کند که چه اعمالى را انجام دهیم و یا چه اعمالى را انجام ندهیم. اما اگر با مسامحه بخواهیم صحبت کنیم روش ریاضى همان علائم و نمادهایى است که براى اشاره به اشیا و اعمال جمع و ضرب و تقسیم به کار مى رود.

بدیهى است که هر چه این تکنیک ریاضى را در سطح بالاترى به کار بریم یعنى هر چه هزینه بیشترى بپردازیم چیز بهترى به دست مى آوریم به همین دلیل است که غالباً قضایاى شگفت انگیز بنیان افکن علم ریاضى از تکنیکهاى پیشرفته اى در اثبات برخوردار است و هر چه روش ریاضى را محدودتر کنیم طبعاً چیز کمترى به دست مى آوریم.

به معناى عام منطق ریاضى باز مى گردیم. اما منطق چیست . آیا واقعاً یک منطق وجود دارد و یا منطقهاى مختلفى وجود دارند؟ آیا هر کدام از اینها روش خاص ریاضى را براى بحث مى طلبد؟ فارغ از اینکه ما چه تعریفى براى منطق قائل باشیم شکى نیست که نقطه آغازین منطق ریاضى ابداع زبان مناسب است و این پیشفرض علمى منطق ریاضى است که منطق یا به عبارتى دیگر نظمهاى تفکر در قالب زبان متجلى مى شوند.

 بنابراین زبان، بحث فلسفى عمیقى را مى طلبد. چیزى که در قالب زبان نیاید در قلمرو کار منطق و ریاضى قرار نمى گیرد. این زبان، زبان طبیعى نیست گرچه با بررسى و تجزیه و تحلیل زبان طبیعى ساخته مى شوند. این زبان را اصطلاحاً «زبان صورى» مى گوییم.
 در این زبان نمادهایى را به طور صورى ابداع مى کنیم که این ابداع نمادها آن را از زبان طبیعى جدا مى کند. اما در عین حال این نمادها بدون مبنا انتخاب و ابداع نمى شوند.

این نمادها با تجزیه و تحلیل زبان طبیعى و اجزاى زبان طبیعى ساخته مى شود. بنابراین با تجزیه و تحلیل زبان سعى داریم مدل ریاضى بسازیم. به عبارتى دیگر این بخشى از کار منطق ریاضى است که ما براى نحوى از زبان ابتدا مدل ریاضى مى سازیم.

اما مفاهیم دیگرى مثل مفهوم صدق یا حقیقت یا تعریف پذیرى در قلمرو معنا شناسى و دلالت شناسى قرار مى گیرند. قسمت دوم کار، مدل سازى براى معنا شناسى یا دلالت شناسى زبان است. اما در منطق ریاضى بین نحو کلام یا زبان و یا معناشناسى زبان براى جلوگیرى از هر نوع خلط احتمالى جدایى است.

نحو در زبان صورى چیزى شبیه گرامر و دستور زبان است. یکى از مسائل اساسى که در این مرحله در منطق ریاضى به آن توجه شده این است که بین زبانى که به عنوان شىء ساختیم و زبانى که در آن درباره این شىء که در زبان هست مى خواهیم صحبت کنیم، تمایز اساسى وجود دارد. بنابراین هوشمندى در زبان جلوگیرى از پارادوکسهایى است که در طول تاریخ وجود داشته و غالباً ناشى از خلط زبان و مفاهیم فرا زبانى بود مثل عبارت پارادوکس دروغگو.

یکى از مفاهیمى که به نوعى مشترک در زبان شناسى، فلسفه و منطق است و شاید یکى از مفاهیم بسیار اساسى باشد مفهوم «معنادارى» است. اما متأسفانه باید گفت هیچ کدام از این سه شاخه تا کنون قادر به ارائه یک مدل از آن نشده اند.

در این زمینه تحقیقات همچنان ادامه دارد. از مفاهیم اساسى که در نحو زبان وجود دارد مفهوم «برهان» است که در مقابل مفهوم «صدق» قرار دارد. یکى دیگر از علایق اساسى منطق ریاضى رابطه این دو است. اینکه ما در نحو زبان مفاهیمى داریم و آنها را ابداع کردیم و همین طور در دلالت شناسى زبان مفاهیمى را مدل سازى ریاضى کردیم و طبیعتاً روابط به این دو مقوله از علائق اساسى منطق است.

اینکه آیا در یک دستگاه منطقى گزاره اى مثل E اثبات یا استنتاج شود کاملاً یک مفهوم نحوى است که چگونه یک جمله را از بقیه مفروضاتتان تولید کنید. تولید کاملاً یک مفهوم مبتنى بر گرامر زبان است و از طرف دیگر بپرسید که آیا این جمله راست است یا دروغ؟ یک مفهوم معنایى است اینکه خارج از زبان بین این دو چه رابطه اى وجود دارد و بررسى رابطه این دو مفهوم از علائق ذاتى بررسى منطق ریاضى است.
تدوین منطق ریاضى اساساً کار سختى است ولى مى توان گفت بین سالهاى ۱۸۵۰ تا ۱۹۵۰ این کار توسط چندین نفر صورت گرفته است. به نظر من ارسطو اولین کسى که این بنا را بنیاد نهاد. فارغ از اینکه منطق ارسطو از نظر منطق ریاضى چقدر موجه بنماید و مهم باشد، به نظر من کاخ عظیم منطق ریاضى را ارسطو ساخته است.

 این کاخ چنان مستحکم بود که حداقل تا ۱۸۷۹ وقتى که فرگه وارد میدان شد، دوام آورد و تصویر و تصور ما را با تجزیه و تحلیلى که نسبت به زبان آغاز کرد از منطق دگرگون کرد. منطق ارسطویى، تحلیلى را از اجزاى جمله شروع مى کند که مبتنى بر موضوع محمول است و رابطه این تصویر را فرگه دگرگون کرد و آن را تبدیل به تابع و شناسه نمود.
 بدین ترتیب مفهومى ریاضى وارد میدان شد و تصویر و تصور ما را از مفهوم گزاره و جمله تغییر داد. علاوه بر این فرگه کارهاى دیگرى هم انجام داد که بنیاد منطق ریاضى جدید مبتنى بر کارهاى فرگه است.
سومین کسى که کار انقلابى در منطق کرد اما مبتنى بر کارهاى فرگه بود گودل است. او در حوالى سالهاى ۱۹۳۱ و ۱۹۳۰ دو نوع قضایاى تمامیت و قضایاى نا تمامیت را ارائه کرد. قضیه تمامیت باز مى گردد به همان مفهوم و سؤالى که من در رابطه نحو و معناشناسى مطرح کردم.

 آیا در یک دستگاه منطقى یک حکم یا یک گزاره قابل استنتاج صادق است و بالعکس در حکمى که صادق است هر معنایى در همه جهانهاى ممکن آیا این قابل استنتاج است و اگر این دستگاه چنین ویژگى داشته باشد نشان دهنده این است که این دستگاه کامل و تمام است.

گودل در ۱۹۳۰ ثابت کرد که این بنیانگذارى منطق بر شالوده تفکر فرگه براى منطق کامل هست. قضایاى نا تمامیت گودل پیچیده تر و البته مأیوس کننده تر براى تفکر بشرى است.

منبع:  http://www.academist.ir

عدد «پی» بازنشسته می‌شود؟

با اینکه مدت‌هاست «پی» به عنوان مهمترین عدد جهان شناخته شده، اما ریاضیدانان اکنون به این نتیجه رسیده‌اند که دیگر «پی» باید جایگاه خود را تعویض کند.
به گزارش سرویس علمی خبرگزاری دانشجویان ایران (ایسنا)، به ادعای کارشناسان دانشگاه لیدز،‌ عدد پی که از عددهای ثابت ریاضی و نشان دهنده نسبت محیط دایره به قطر آن است، اشتباه بوده و باید با یک ارزش دیگر موسوم به «تاو» (tau) جایگزین شود.
به گفته ریاضیدانان با اینکه ارزش 3.14159265 برای پی نادرست نیست، اما بنا به ادعای آنها این عدد شاخص متناسبی برای خصوصیات دایره نیست.
آنها همچنین از هم اکنون در حال مبارزه برای بازنویسی کتاب‌های مدارس و جایگزینی عدد تاو هستند که از ارزشی دوبرابر پی - در حدود 6.28 - برخوردار است. در مسیر این مبارزه، آنها 28 ژوئن (28/6) مصادف با هفتم تیرماه را روز تاو نامگذاری کرده‌اند.
از مدت‌ها پیش این عدد به عنوان اصلی اساسی برای بسیاری از فرمول‌های ریاضی و همچنین اصلی بسیار حیاتی در معادلات علوم و مهندسی به شمار می‌رود.
از عدد پی برای محاسبه محیط یک دایره با ضرب قطر در این عدد استفاده می‌شود. این در حالی است که برای استنباط مساحت آن باید عدد پی را ضرب در مجذور شعاع آن کرد.
از سویی ریاضیدانانی که خواهان تعویض این عدد با دوپی یا تاو هستند بر این گفته پافشاری می‌کنند که از آنجایی که بسیاری از فرمول‌ها نیازمند استفاده از عدد تاو هستند، باید از این عدد به عنوان عدد ثابت اصلی دایره استفاده کرد.
به گفته این دانشمدان، ریاضیدانان زوایا را با درجه اندازه‌گیری نکرده بلکه از واریان برای سنجش استفاده می‌کنند و در یک دایره رادیان‌های دوپی وجود دارند.
این مساله منجر به پریشانی بسیار در ریاضی می‌شود. اگر تنها یک چهارم دایره را در نظر بگیریم، اندازه آن با یک چهارم رادیا‌نهای دوپی یا نیمی از پی سنجیده می‌شود. برای سنجش تعداد رادیان‌ها در سه چهارم دایره باید فکر کرد و اندازه آن به شکل ساده قابل اندازه‌گیری نیست. اما مورد تاو این مساله فرق دارد. در این حالت، دایره از رادیانهای تائو برخوردار بوده و یک نیم دایره با نیم تاو، یک چهارم دایره با یک چهارم تاو و به همین شکل اندازه گیری می‌شوند.
عدد پی که از حروف اول کلمه یونانی به معنی محیط گرفته شده در ابتدا در سال 1706 به وسیله ویلیام جونز به این نام خوانده شد. عدد پی همچنین به ثابت ارشمیدس نیز معروف است.
در قرن نهم هجری دانشمند وریاضی دان ایرانی غیاث‌الدین جمشید کاشانی عدد پی را تا شانزده رقم اعشار محاسبه کرده بود به نحوی که تا صد و پنجاه سال بعد کسی نتوانست آن را گسترش دهد.

منبع: ایسنا