جهان هستی 250 مرتبه بزرگتر است

الم هستی میتواند 250 مرتبه بزرگتر از آنچه که دیده میشود، باشد...

عالم هستی بسیار بزرگ است، این مسئله دیگر یک راز نیست. اما چیزی که برای بحث باقی مانده، عظمت آن است. تحقیقات تازه نشان میدهد که عالم هستی ساختار بسیار بزرگی است که 250 مرتبه از عالم قابل رویت بزرگتر می باشد.  

کیهان شناسان در حال حاضر باور دارند که عالم هستی میتواند یکی از سه شکل یا ساختار ذیر را داشته باشد:
1. صاف و هموار مانند صفحه اقلیدسی و بی نهایت بزرگ
2. باز است و یا مثل یک زین خم یا تاب خورده و بی نهایت بزرگ
3. بسته است و یا شبیه یک کره خم یا تاب خورده و بی نهایت بزرگ

این تصویر تلسکوپ فضایی هابل توزیع ماده تاریک را در مرکز این خوشه عظیم کهشکانی (Abell 1689) نشان میدهد که حدود 1000 کهکشان و هزاران میلیارد ستاره در آن وجود دارد. عکس از ناسا

هرچند  بیشتر اطلاعات بدست آمده امروزه به سود عالم هموار یا تخت است، اما کیهان شناسان هنوز روی این مسئله توافق نظر ندارند. سه تن از کیهان شناسان انگلیسی بنام های میرهان وردانیان، روبرتو تروتا و جوزف سیک اخیرأ مقاله ای را در این مورد برای سایت آرکایف نوشته اند که در آن دیدگاه ثابت خود را بیان نموده اند. بر اساس اصول اوکام رازور که بنام مدل بایسین یاد میشود، ساده ترین توضیح معمولأ دقیق ترین و درست ترین آن است. در این مورد، یک عالم هموار نسبت به عالم منحنی نشان دهنده ساختار هندسی ساده است.
اما در نهایت اگر مشخص شود که عالم ساختار بسته دارد و اندازه آن هم محدود باشد چی؟ کیهان شناسان اکثرأ به حجم هابل اشاره میکنند. حجم هابل در واقعی حجمی از فضا است که شبیه به عالم مرئی یا قابل دید می باشد. نور هر جرم آسمانی بیرون از حجم هابل هرگز به ما نمی رسد، زیرا فضای میان ما و آن جرم با سرعت در حال انبساط و گسترش است. بر اساس تحلیل های این تیم، یک عالم بسته میتواند حد اقل 251 حجم هابل را احاطه کند.
این اندازه عالم به مراتب بزرگتر از آن حدی است که شما فکر می کنید. نور اولیه فقط اندکی بعد از بیگ بنگ یا انفجار بزرگ در حدود 13.75 میلیارد سال قبل سفر خود را آغاز کرده. از آنجائیکه قانون نسبت خاص می گوید، هیچ چیزی نمی تواند سریعتر از فوتون یا ذره نور حرکت کند، اکثر مردم به اشتباه این مسئله را طوری برداشت نموده اند که گویا عالم مرئی یا قابل دید باید 13.75 میلیارد سال بزرگ باشد. (اندازه آن برابر با 13.75 میلیارد سال باشد). در واقع عالم به مراتب بزرگتر از این حد است. نه تنها بخاطر اینکه عالم از لحظه بیگ بنگ به بعد در حال انبساط است، بلکه خود سرعت انبساط هم بخاطر تأثیر یا نفوذ انرژی تاریک به تدریج در حال گسترش می باشد. از سوی دیگر چون نسبت خاص نمی تواند عاملی برای انبساط خود فضا باشد، کیهان شناسان تخمین میزنند که کهن ترین فوتون یا ذره نور باید فاصله ای به اندازه 45 میلیارد سال را از زمان بیگ بنگ بدین سو طی نموده باشد. در نتیجه عالم مرئی یا قابل دید ما باید چیزی به اندازه 90 میلیارد سال قطر داشته باشد.
اگر بخواهیم جمع بندی کنیم، معلوم می شود که حد اندازه مطرح شده تیم تحقیقاتی برای 251 حجم هابل، یک تخمین محافظه کارانه بر اساس مدل هندسی می باشد که دوره تورم را نیز شامل میگردد. اگر اخترشناسان در صدد آن بودند تا به عنوان اساس بجای اندازه عالم فقط عمر و توزیع اجرامی را که تا امروز دیده اند، جایگزین کنند، در آنصورت متوجه می شوند که یک عالم بسته می تواند حد اقل 398 حجم هابل را دربر گیرد. یعنی این اندازه چیزی حدود 400 برابر اندازه هر چیزی خواهد بود که امیدی برای دیدن آن در عالم داشته باشیم. 

با توجه به واقعیت توانایی های امروزی ما برای رویت عالم، دیدن حتی یک عالم متناهی یا محدود نمی تواند برای ابد وجود داشته باشد.

منبع:  www.kabulsky.com

هندسه نااقلیدسی و انحنای فضا

علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.
در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می کردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را می توان به عنوان یک قضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات “اصل توازی” مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.

۱-اصطلاحات بنیادی ریاضیات

طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر می گرفتند که در نفس خویش وجود دارند. این موجودات همواره همه ی کوششهای را که برای تعریف و توصیف شایسته ی آنان انجام می شد را با شکست مواجه می ساختند. بتدریج این نکته بر ریاضیدانان قرن نوزدهم آشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.
بنابراین، اینکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست. یک وقت براتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییم درست است.
دلیل آن این است که برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آنکه بگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یک بتا را مشخص می کند. با وجود تغییری که در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل های درست به شکل نمودار بسته نیستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند.
بنابراین، ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست. این دیدگاه (صوریگرایی) با عقیده ی کهن تری که ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و کشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جدایی اساسی دارد. این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.

۲- اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی

هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت:
اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.
اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم - همه ی زوایای قایمه با هم مساوی اند.
اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.
اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سیوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.
در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویویی و … تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.
یانوش بویویی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود .
و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازیها را رها کنی.
ولی یانوش جوان از اخطار پدیر نهرسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال ۱۸۲۳ پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال ۱۸۳۱ اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گایوس فرستاد. بعد معلوم شد که گایوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است.
بعدها مشخص شد که لباچفسکی در سال ۱۸۲۹ کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بویی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویویی و لباچفسکی ثبت گردید.

۳- هندسه های نا اقلیدسی

اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.
نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد، بیش از یکی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد.

یک - هندسه های هذلولوی

هندسه های هذلولوی توسط بویویی و لباچفسکی بطور مستقل و همزمان کشف گردید.
اصل توازی هندسه هذلولوی - از یک خط و یک نقطه ی نا واقع بر آن دست کم دو خط موازی با خط مفروض می توان رسم کرد.

دو - هندسه های بیضوی

در سال ۱۸۵۴ فریدریش برنهارد ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزیی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارایه گردید.
اصل توازی هندسه بیضوی - از یک نقطه ناواقع بر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد.
یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یک کره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه کره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژیودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یک دایره عظیمه است.
در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از ۱۸۰ درجه است. در هندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبت محیط یک دایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است.

۴- انحنای سطح یا انحنای گایوسی

اگر خط را راست فرض کنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یک انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت k=o انحنای یک دایره به شعاع r برابر است با k=۱/r.
تعریف می کنند. همچنین منحنی هموار، منحنی ای است که مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر کند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد.
برای به دست آوردن انحنای یک منحنی در یک نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم کرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یک نقطه از منحنی، دایره ای است که در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود که برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.
برای تعیین انحنای یک سطح در یک نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب کرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می کنیم. فرض کنیم انحنای این دو خط
k۱=۱/R۱ and k۲=۱/R۲
باشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی :
k=۱/R۱R۲
انحنای صفحه ی اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر است:
k=o
برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است :
k<>
برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است :
k>o
در جدول زیر هر سه هندسه ها با یکدیگر مقایسه شده اند:

نوع هندسه	تعداد خطوط موازی	مجموع زوایای مثللث	نسبت محیط به قطر دایره	اندازه انحنا
اقلیدسی	یک	۱۸۰	عدد پی	صفر
هذلولوی	بینهایت	< 180	> عدد پی	منفی
بیضوی	صفر	> ۱۸۰	< عدد پی	مثبت

5- مفهوم و درک شهودی انحنای فضا

سیوال اساسی این است که کدام یک از این هندسه های اقلیدسی یا نا اقلیدسی درست است؟
پاسخ صریح و روشن این است که باید انحنای یک سطح را تعیین کنیم تا مشخص شود کدام یک درست است. بهترین دانشی کا می تواند در شناخت نوع هندسه ی یک سطح مورد استفاده و استناد قرار گیرد، فیزیک است. یک صفحه ی کاغذ بردارید و در روی آن دو خط متقاطع رسم کنید. سپس انحنای این خطوط را در آن نقطه تعیین کرده و با توجه به تعریف انحنای سطح حاصلضرب آن را به دست می آوریم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقلیدسی است، اگر منفی شد می گوییم صفحه هذلولوی است و در صورتی که مثبت شود، ادعا می کنیم که صفحه بیضوی است .
در کارهای معمولی مهندسی نظیر ایجاد ساختمان یا ساختن یک سد بر روی رودخانه، انحنای سطح مورد نظر برابر صفر است، به همین دلیل در طول تلریخ مهندسین همواره از هندسه اقلیدسی استفاده کرده اند و با هیچگونه مشکلی هم مواجه نشدند. یا برای نقشه برداری از سطح یک کشور اصول هندسه ی اقلیدسی را بکار می برند و فراز و نشیب نقاط مختلف آن را مشخص می کنند. در این محاسبات ما می توانیم از خطکش هایی که در آزمایشگاه یا کارخانه ها ساخته می شود، استفاده کنیم. حال سیوال این است که اگر خطکش مورد استفاده ی ما تحت تاثیر شرایط محیطی قرار بگیرد چه باید کرد؟ اما می دانیم از هر ماده ای که برای ساختن خطکش استفاده کنیم، شرایط فیزیکی محیط بر روی آن اثر می گذارد. البته با توجه با تاثیر محیط بر روی خطکش ما تلاش می کنیم از بهترین ماده ی ممکن استفاده کنیم. بهمین دلیل چوب از لاستیک بهتر است و آهن بهتر از چوب است.
اما برای مصافتهای دور نظیر فواصل نجومی از چه خطکشی (متری) می توانیم استفاده کنیم؟ طبیعی است که در اینجا هیچ خطکشی وجود ندارد که بتوانیم با استفاده از آن فاصله ی بین زمین و ماه یا ستارگان را اندازه بگیریم. بنابراین باید به سایر امکاناتی توجه کنیم که در عمل قابل استفاده است. اما در اینجا چه امکاناتی داریم؟ بهترین ابزار شناخته شده امواج الکترومغناطیسی است. اگر مسیر نور در فضا خط مستقیم باشد، در اینصورت با جرت می توانیم ادعا کنیم که فضا اقلیدسی است. برای پی بردن به نوع انحنای فضا باید مسیر پرتو نوری را مورد بررسی قرار دهیم .
اما تجربه نشان می دهد که مسیر نور هنگام عبور از کنار ماده یعنی زمانی که از یک میدان گرانشی عبور می کند، خط مستقیم نیست، بلکه منحنی است. بنابراین فضای اطراف اجسام اقلیدسی نیست. به عبارت دیگر ساختار هندسی فضا نااقلیدسی است.
منبع:http://www.academist.ir

منبع:  rasekhoon.net

آیا ریاضیات علمی منطقی است؟

منطق ریاضى، ترجمه mathematical logic است. از منطق ریاضى دو معنا مستفاد مى شود.۱- منطق ریاضى به معناى خاص که در واقع باید ترجمه The logic of mathematic باشد چرا که ریاضیات مانند هر علم دیگرى از نظمهایى برخوردار است که این نظمها تحت عنوان منطق مى آید و منطق ریاضى به معناى خاص بررسى ریاضى این نظمها یا قواعد است.
۲- معناى عامى هم براى منطق ریاضى متصور است که عبارت است از: استفاده از روشها و تکنیکهاى ریاضى براى بررسى منطق. به این معنا که منطق ریاضى یک علم کاربردى است و در مقوله ریاضیات کاربردى قرار مى گیرد. بین دو معناى عام و خاصى که مطرح شد یک رابطه واقعى عام و خاص نیز وجود دارد.
کتاب «منطق ریاضى» ، کتابى به معناى خاص منطق ریاضى است. یعنى بررسى منطق متعلق به ریاضیات نه منطق به معناى عام. در واقع باید گفت که معناى آن اخص است. یعنى کتابى است براى بررسى ریاضیات کلاسیک. شاید این سؤال پیش آید که ریاضیات کلاسیک چیست؟ و مگر ریاضیات غیر کلاسیک نیز وجود دارد.

آیا ریاضیات علمی منطقی است؟

جواب این است که با توجه به نوع نگرش فلسفى که نسبت به اشیاء ریاضى و عالم ریاضى داریم ریاضیات غیر کلاسیک هم وجود دارد. به تسامح مى توان گفت که در ریاضیات کلاسیک شیوه هایى از استدلال و برهان وجود دارد که در ریاضیات غیرکلاسیک مجاز نیست.

 به ویژه برهان خلف به عنوان یک برهان که در ریاضیات کلاسیک به کار مى رود در ریاضیات غیر کلاسیک بر قرار نیست و قاعدتاً منطقى را مى طلبد که با منطق ریاضیات کلاسیک متفاوت است. در این منطق، ریاضیات ساختى اصل طرد شق ثالث یک اصل معتبر ریاضى نیست.
 بنابراین منطق ریاضیات ساختى و به عبارت معروفتر منطق شهود گرایانه اصول و قواعد کمترى از منطق کلاسیک را دارد.
کتاب «منطق ریاضى» بسیار خاص است. یعنى عبارت است از: بررسى منطق ریاضیات کلاسیک. اما بین این معناى خاص و عام منطق ریاضى رابطه واقعى وجود دارد. به این معنا که حتى در معناى خاص منطق ریاضى ویژگى عام معنایى هم در این مورد وجود دارد. یعنى این که ما از تکنیکها و روشهاى ریاضیات در بررسى تحقیق درباره ریاضیات سود مى بریم.

پس منطق ریاضى به دو وجه ریاضى است. نخست اینکه موضوع آن موضوع منطق ریاضى است، دوم اینکه روش آن ریاضى است. یعنى اینکه در عالم ریاضیات با استفاده از اصول و قواعد ریاضى، ما به موضوع منطق ریاضى مى پردازیم. پس منطق ریاضى به معناى عام براى موضوع ریاضیات به دو وجه ریاضى است و این نکته اى نسبتاً مهم است.

ریاضى بودن، روش تألیف دقیق دارد . اگر بخواهیم خیلى دقیق باشیم - و من اصرار به دقیق بودن آن دارم - این است که وقتى مى گوییم روش ریاضى است یعنى در عالم نظریه، مجموعه اصول و قواعدى ما را مجاز مى کند که چه اعمالى را انجام دهیم و یا چه اعمالى را انجام ندهیم. اما اگر با مسامحه بخواهیم صحبت کنیم روش ریاضى همان علائم و نمادهایى است که براى اشاره به اشیا و اعمال جمع و ضرب و تقسیم به کار مى رود.

بدیهى است که هر چه این تکنیک ریاضى را در سطح بالاترى به کار بریم یعنى هر چه هزینه بیشترى بپردازیم چیز بهترى به دست مى آوریم به همین دلیل است که غالباً قضایاى شگفت انگیز بنیان افکن علم ریاضى از تکنیکهاى پیشرفته اى در اثبات برخوردار است و هر چه روش ریاضى را محدودتر کنیم طبعاً چیز کمترى به دست مى آوریم.

به معناى عام منطق ریاضى باز مى گردیم. اما منطق چیست . آیا واقعاً یک منطق وجود دارد و یا منطقهاى مختلفى وجود دارند؟ آیا هر کدام از اینها روش خاص ریاضى را براى بحث مى طلبد؟ فارغ از اینکه ما چه تعریفى براى منطق قائل باشیم شکى نیست که نقطه آغازین منطق ریاضى ابداع زبان مناسب است و این پیشفرض علمى منطق ریاضى است که منطق یا به عبارتى دیگر نظمهاى تفکر در قالب زبان متجلى مى شوند.

 بنابراین زبان، بحث فلسفى عمیقى را مى طلبد. چیزى که در قالب زبان نیاید در قلمرو کار منطق و ریاضى قرار نمى گیرد. این زبان، زبان طبیعى نیست گرچه با بررسى و تجزیه و تحلیل زبان طبیعى ساخته مى شوند. این زبان را اصطلاحاً «زبان صورى» مى گوییم.
 در این زبان نمادهایى را به طور صورى ابداع مى کنیم که این ابداع نمادها آن را از زبان طبیعى جدا مى کند. اما در عین حال این نمادها بدون مبنا انتخاب و ابداع نمى شوند.

این نمادها با تجزیه و تحلیل زبان طبیعى و اجزاى زبان طبیعى ساخته مى شود. بنابراین با تجزیه و تحلیل زبان سعى داریم مدل ریاضى بسازیم. به عبارتى دیگر این بخشى از کار منطق ریاضى است که ما براى نحوى از زبان ابتدا مدل ریاضى مى سازیم.

اما مفاهیم دیگرى مثل مفهوم صدق یا حقیقت یا تعریف پذیرى در قلمرو معنا شناسى و دلالت شناسى قرار مى گیرند. قسمت دوم کار، مدل سازى براى معنا شناسى یا دلالت شناسى زبان است. اما در منطق ریاضى بین نحو کلام یا زبان و یا معناشناسى زبان براى جلوگیرى از هر نوع خلط احتمالى جدایى است.

نحو در زبان صورى چیزى شبیه گرامر و دستور زبان است. یکى از مسائل اساسى که در این مرحله در منطق ریاضى به آن توجه شده این است که بین زبانى که به عنوان شىء ساختیم و زبانى که در آن درباره این شىء که در زبان هست مى خواهیم صحبت کنیم، تمایز اساسى وجود دارد. بنابراین هوشمندى در زبان جلوگیرى از پارادوکسهایى است که در طول تاریخ وجود داشته و غالباً ناشى از خلط زبان و مفاهیم فرا زبانى بود مثل عبارت پارادوکس دروغگو.

یکى از مفاهیمى که به نوعى مشترک در زبان شناسى، فلسفه و منطق است و شاید یکى از مفاهیم بسیار اساسى باشد مفهوم «معنادارى» است. اما متأسفانه باید گفت هیچ کدام از این سه شاخه تا کنون قادر به ارائه یک مدل از آن نشده اند.

در این زمینه تحقیقات همچنان ادامه دارد. از مفاهیم اساسى که در نحو زبان وجود دارد مفهوم «برهان» است که در مقابل مفهوم «صدق» قرار دارد. یکى دیگر از علایق اساسى منطق ریاضى رابطه این دو است. اینکه ما در نحو زبان مفاهیمى داریم و آنها را ابداع کردیم و همین طور در دلالت شناسى زبان مفاهیمى را مدل سازى ریاضى کردیم و طبیعتاً روابط به این دو مقوله از علائق اساسى منطق است.

اینکه آیا در یک دستگاه منطقى گزاره اى مثل E اثبات یا استنتاج شود کاملاً یک مفهوم نحوى است که چگونه یک جمله را از بقیه مفروضاتتان تولید کنید. تولید کاملاً یک مفهوم مبتنى بر گرامر زبان است و از طرف دیگر بپرسید که آیا این جمله راست است یا دروغ؟ یک مفهوم معنایى است اینکه خارج از زبان بین این دو چه رابطه اى وجود دارد و بررسى رابطه این دو مفهوم از علائق ذاتى بررسى منطق ریاضى است.
تدوین منطق ریاضى اساساً کار سختى است ولى مى توان گفت بین سالهاى ۱۸۵۰ تا ۱۹۵۰ این کار توسط چندین نفر صورت گرفته است. به نظر من ارسطو اولین کسى که این بنا را بنیاد نهاد. فارغ از اینکه منطق ارسطو از نظر منطق ریاضى چقدر موجه بنماید و مهم باشد، به نظر من کاخ عظیم منطق ریاضى را ارسطو ساخته است.

 این کاخ چنان مستحکم بود که حداقل تا ۱۸۷۹ وقتى که فرگه وارد میدان شد، دوام آورد و تصویر و تصور ما را با تجزیه و تحلیلى که نسبت به زبان آغاز کرد از منطق دگرگون کرد. منطق ارسطویى، تحلیلى را از اجزاى جمله شروع مى کند که مبتنى بر موضوع محمول است و رابطه این تصویر را فرگه دگرگون کرد و آن را تبدیل به تابع و شناسه نمود.
 بدین ترتیب مفهومى ریاضى وارد میدان شد و تصویر و تصور ما را از مفهوم گزاره و جمله تغییر داد. علاوه بر این فرگه کارهاى دیگرى هم انجام داد که بنیاد منطق ریاضى جدید مبتنى بر کارهاى فرگه است.
سومین کسى که کار انقلابى در منطق کرد اما مبتنى بر کارهاى فرگه بود گودل است. او در حوالى سالهاى ۱۹۳۱ و ۱۹۳۰ دو نوع قضایاى تمامیت و قضایاى نا تمامیت را ارائه کرد. قضیه تمامیت باز مى گردد به همان مفهوم و سؤالى که من در رابطه نحو و معناشناسى مطرح کردم.

 آیا در یک دستگاه منطقى یک حکم یا یک گزاره قابل استنتاج صادق است و بالعکس در حکمى که صادق است هر معنایى در همه جهانهاى ممکن آیا این قابل استنتاج است و اگر این دستگاه چنین ویژگى داشته باشد نشان دهنده این است که این دستگاه کامل و تمام است.

گودل در ۱۹۳۰ ثابت کرد که این بنیانگذارى منطق بر شالوده تفکر فرگه براى منطق کامل هست. قضایاى نا تمامیت گودل پیچیده تر و البته مأیوس کننده تر براى تفکر بشرى است.

منبع:  http://www.academist.ir